Sekundarstufe II · Schweizer Prüfungsstandard

Wahrscheinlichkeitsrechnung Matura: Ziehen ohne Zurücklegen mit Baumdiagramm

Vorbereitung auf die Schweizer Maturaprüfung: Stochastik und bedingte Wahrscheinlichkeit beim Ziehen ohne Zurücklegen exakt als gekürzten Bruch berechnen.

Aufgabenstellung

In einer Urne befinden sich 5 rote und 3 weisse Kugeln. Es werden nacheinander zwei Kugeln zufällig und ohne Zurücklegen gezogen. Diese Fragestellung ist ein Klassiker der gymnasialen Maturaprüfung im Grundlagenfach.

Aufgabe:

Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass beide gezogenen Kugeln rot sind. Gib das Ergebnis als vollständig gekürzten Bruch an.

Gegeben:

N_{\text{rot}} = 5

N_{\text{weiss}} = 3

n_{\text{gesamt}} = 8

Gesucht:

P(\text{beide rot})

Didaktischer Denkansatz

Skizziere den massgeblichen Ast eines zweistufigen Baumdiagramms. Beachte, dass sich beim Ziehen ohne Zurücklegen sowohl die Anzahl der günstigen als auch die Anzahl der möglichen Fälle im zweiten Schritt um 1 verringert.

Schritt-für-Schritt-Herleitung

Wahrscheinlichkeit für die erste rote Kugel bestimmen

In der Urne liegen 5 rote von insgesamt 8 Kugeln.

P(R_1) = \frac{5}{8}

Bedingte Wahrscheinlichkeit für die zweite rote Kugel aufstellen

Da die Kugel nicht zurückgelegt wird, verbleiben 4 rote bei nun 7 Gesamtkugeln.

P(R_2 \mid R_1) = \frac{4}{7} = \frac47

Pfadmultiplikationsregel (1. Pfadregel) anwenden

Die Wahrscheinlichkeit eines Pfades im Baumdiagramm ist das Produkt der Wahrscheinlichkeiten längs dieses Pfades.

P(R_1 \cap R_2) = \frac{5}{8} \cdot \frac47 = \frac{20}{56} = \frac{5}{14}

Mathematisches Endergebnis

P(\text{beide rot}) = \frac{5}{14} \approx 35.7\,\%

Häufige Schweizer Prüfungsfehler

•Modellverwechslung: Ziehen «mit» statt «ohne» Zurücklegen berechnet.
•Nenner im zweiten Zug nicht reduziert ( $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{8}$ statt $\frac{5}{8} \cdot \frac{4}{7}$ ).
•Bruch am Ende nicht vollständig gekürzt.

Verständnis-CheckDirektes Feedback

Welche Regel besagt, dass Wahrscheinlichkeiten entlang eines Astes im Baumdiagramm multipliziert werden?

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