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Sekundarstufe II · Schweizer Prüfungsstandard

Satz des Pythagoras im Raum: Raumdiagonale eines Quaders berechnen

Kanti-Probezeit Geometrie: Raumdiagonale im Quader mit dem Satz des Pythagoras fehlerfrei berechnen. Schritt-für-Schritt-Herleitung mit ganzzahligem Ergebnis.

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Aufgabenstellung

Ein quaderförmiges Werkstück an einer Schweizer Kantonsschule hat die Kantenlängen a=12 cma = 12\,\text{cm}, b=4 cmb = 4\,\text{cm} und die Höhe c=3 cmc = 3\,\text{cm}.
Aufgabe:
Berechne die exakte Länge der Raumdiagonale dd dieses Quaders in Zentimetern.
Gegeben:
a=12 cma = 12\,\text{cm}b=4 cmb = 4\,\text{cm}c=3 cmc = 3\,\text{cm}
Gesucht:
dd

Didaktischer Denkansatz

Wende den Satz des Pythagoras zweimal an: Zuerst auf die Grundfläche zur Bestimmung der Flächendiagonale, danach im vertikalen Schnittdreieck für die Raumdiagonale.

Schritt-für-Schritt-Herleitung

1

Formel für die Raumdiagonale eines Quaders herleiten

Durch zweifache Anwendung des Satzes des Pythagoras im rechtwinkligen Dreieck ergibt sich die Formel für die Raumdiagonale.

d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2}
2

Gegebene Kantenlängen einsetzen

Setze a = 12 cm, b = 4 cm und c = 3 cm in die Raumdiagonalen-Formel ein.

d=122+42+32=144+16+9d = \sqrt{12^2 + 4^2 + 3^2} = \sqrt{144 + 16 + 9}
3

Radikand berechnen und Quadratwurzel ziehen

Summiere die Quadrate auf: 144 + 16 + 9 = 169.

d=169=13 cmd = \sqrt{169} = 13\,\text{cm}
Mathematisches Endergebnis
d=13 cmd = 13\,\text{cm}

Häufige Schweizer Prüfungsfehler

  • •Verwechslung von Flächendiagonale der Grundfläche und Raumdiagonale des Körpers.
  • •Wurzelziehen aus einzelnen Summanden: a2+b2+c2≠a+b+c\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} \neq a + b + c.
  • •Einheitenfehler: Vergessen der Längeneinheit cm\text{cm} im Schlussergebnis.
Verständnis-CheckDirektes Feedback

Gilt die Formel d=a2+b2+c2d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} auch für schiefe Quader (Parallelepipede)?

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