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Sekundarstufe II · Schweizer Prüfungsstandard

ZAP Zürich Mathematik: Bruchgleichungen sicher lösen

Übungsaufgabe zur ZAP Zürich: Bruchgleichung Schritt für Schritt herleiten, Definitionsmenge bestimmen und typische Prüfungsfallen vermeiden.

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Aufgabenstellung

An der Zürcher Zentralen Aufnahmeprüfung (ZAP) für das Kurzgymnasium und die BMS gehören Bruchgleichungen mit Variablen im Nenner zu den regelmässigen Selektionsaufgaben.
Aufgabe:
Bestimme die Lösungsmenge L\mathbb{L} der folgenden Gleichung über der Grundmenge G=R\mathbb{G} = \mathbb{R}: 3x+52x−1=2\frac{3x + 5}{2x - 1} = 2
Gegeben:
3x+52x−1=2\frac{3x + 5}{2x - 1} = 2G=R\mathbb{G} = \mathbb{R}
Gesucht:
L\mathbb{L}

Didaktischer Denkansatz

Bei Bruchgleichungen mit Unbekannten im Nenner ist der erste Schritt immer die Definitionsmenge. Anschliessend wird die Gleichung durch Multiplikation mit dem Hauptnenner bruchfrei gemacht.

Schritt-für-Schritt-Herleitung

1

Definitionsmenge bestimmen

Der Nenner darf nicht null sein. Wir setzen 2x - 1 = 0 und schliessen diesen Wert aus der Grundmenge aus.

D=R∖{12}\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{1}{2}\right\}
2

Bruchterm eliminieren

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit dem Hauptnenner (2x - 1).

3x+5=2⋅(2x+−1)3x + 5 = 2 \cdot (2x + -1)
3

Klammern auflösen und Variablen zusammenfassen

Ausmultiplizieren und alle Terme mit x auf die rechte Seite bringen.

3x+5=4x+(−2)  ⟹  7=1x3x + 5 = 4x + (-2) \implies 7 = 1x
4

Lösungsmenge notieren und prüfen

Prüfe, ob das Ergebnis in der Definitionsmenge liegt, und notiere die Lösungsmenge.

x=7∈D  ⟹  L={7}x = 7 \in \mathbb{D} \implies \mathbb{L} = \left\{7\right\}
Mathematisches Endergebnis
L={7}\mathbb{L} = \left\{7\right\}

Häufige Schweizer Prüfungsfehler

  • •Vergessen der Definitionsmenge: Fällt ein Resultat auf eine Definitionslücke, ist es ungültig.
  • •Vorzeichenfehler beim Multiplizieren mit negativen Vorzeichen im Nenner.
  • •Scheinlösungen nicht mit der Definitionsmenge abgeglichen.
Verständnis-CheckDirektes Feedback

Warum muss bei Bruchgleichungen vor dem Lösen zwingend die Definitionsmenge D\mathbb{D} bestimmt werden?

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