Bachelor · Schweizer Prüfungsstandard

95%-Konfidenzintervall der postoperativen Verweildauer (t-Verteilung)

Pflegestudium HSLU Inferenzstatistik: 95%-Konfidenzintervall mit t-Verteilung und Standardfehler Schritt für Schritt herleiten.

Aufgabenstellung

Im Rahmen einer Qualitätsstudie am Kantonsspital Luzern (LUKS) wird die postoperative Verweildauer von 25 Patientinnen und Patienten nach einem standardisierten chirurgischen Eingriff erhoben. Die Populationsstandardabweichung sigma ist unbekannt.

Aufgabe:

Berechne das 95 %-Konfidenzintervall für die mittlere Verweildauer mu der Population.

Gegeben:

n = 25

\bar{x} = 6.4\,\text{Tage}

s = 2.0\,\text{Tage}

1 - \alpha = 0.95

Gesucht:

df

SE

t_{24;\, 0.975}

\text{KI}

Didaktischer Denkansatz

Da die Populationsstreuung sigma unbekannt ist und durch die Stichprobenstreuung s geschätzt werden muss, kommt die t-Verteilung mit df = n - 1 Freiheitsgraden zur Anwendung.

Schritt-für-Schritt-Herleitung

Standardfehler des Mittelwerts (SE) berechnen

Teile die Standardabweichung der Stichprobe durch die Quadratwurzel des Stichprobenumfangs.

SE = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2.0}{\sqrt{25}} = \frac{2.0}{5} = 0.40\,\text{Tage}

Kritischen t-Wert bestimmen und Fehlerspanne berechnen

Für df = 24 und ein zweiseitiges 95 %-Sicherheitsniveau beträgt der Tabellenwert t = 2.064. Multipliziere diesen mit dem SE.

\Delta = t_{24;\, 0.975} \cdot SE = 2.064 \cdot 0.40 = 0.8256 \approx 0.83\,\text{Tage}

Konfidenzintervallgrenzen berechnen

Subtrahiere bzw. addiere die Fehlerspanne Delta zum Stichprobenmittelwert.

KI_{95\%} = \bar{x} \pm \Delta = [6.4 - 0.83;\, 6.4 + 0.83] = [5.57;\, 7.23]\,\text{Tage}

Mathematisches Endergebnis

KI_{95\%} = [5.57;\, 7.23]\,\text{Tage}

Häufige Schweizer Prüfungsfehler

•Fälschliche Verwendung des z-Wertes (1.96) anstelle des t-Wertes (2.064) trotz unbekannter Populationsstreuung sigma.
•Verwechslung von Standardabweichung s (Streuung der Einzelwerte) mit dem Standardfehler SE (Streuung des Mittelwerts).

Verständnis-CheckDirektes Feedback

Warum muss bei n = 25 und unbekanntem Sigma zwingend die t-Verteilung statt der Standardnormalverteilung (z) genutzt werden?

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