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Bachelor · Schweizer Prüfungsstandard

Lineare Regression: Modellierung der Gewichtszunahme von Neugeborenen

Pflegestudium HSLU Inferenzstatistik: Lineare Regressionsgerade y = a + b*x aus Korrelation r und Streuungen fehlerfrei berechnen.

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Aufgabenstellung

Auf einer neonatologischen Bettenstation wird die kumulierte Gewichtszunahme y (in Gramm) von stabilen Neugeborenen in Abhängigkeit vom Lebenstag x (Tage nach Geburt) untersucht. Die Pearson-Korrelation beträgt r = 0.90.
Aufgabe:
Berechne die Regressionssteigung b, den y-Achsenabschnitt a, das Bestimmtheitsmass beta sowie die prognostizierte Gewichtszunahme für Lebenstag x = 14.
Gegeben:
xˉ=10.0 Tage, sx=4.0\bar{x} = 10.0\,\text{Tage},\, s_x = 4.0yˉ=240.0 g, sy=120.0\bar{y} = 240.0\,\text{g},\, s_y = 120.0r=0.90r = 0.90xZiel=14x_{\text{Ziel}} = 14
Gesucht:
bbaaβ\betay^(14)\hat{y}(14)

Didaktischer Denkansatz

Gemäss Schnyder-Skript ergibt sich die Regressionssteigung aus b = r * (sy / sx), der Achsenabschnitt aus a = yquer - b * xquer und das Bestimmtheitsmass aus beta = r^2.

Schritt-für-Schritt-Herleitung

1

Regressionssteigung b berechnen

Multipliziere die Korrelation r mit dem Quotienten der Standardabweichungen sy / sx.

b=r⋅sysx=0.90⋅120.04.0=0.90⋅30.0=27.0 gTagb = r \cdot \frac{s_y}{s_x} = 0.90 \cdot \frac{120.0}{4.0} = 0.90 \cdot 30.0 = 27.0\,\frac{\text{g}}{\text{Tag}}
2

y-Achsenabschnitt a und Bestimmtheitsmass beta ermitteln

Setze Mittelwerte und Steigung in die Gleichung für a ein; quadriere r für das Bestimmtheitsmass.

a=yˉ−b⋅xˉ=240.0−27.0⋅10.0=240.0−270.0=−30.0 g,β=r2=0.902=0.81a = \bar{y} - b \cdot \bar{x} = 240.0 - 27.0 \cdot 10.0 = 240.0 - 270.0 = -30.0\,\text{g},\quad \beta = r^2 = 0.90^2 = 0.81
3

Prognosewert für Tag 14 berechnen

Setze den Zielwert x = 14 in die Geradengleichung y = a + b * x ein.

y^(14)=a+b⋅x=−30.0+27.0⋅14=−30.0+378.0=348 g\hat{y}(14) = a + b \cdot x = -30.0 + 27.0 \cdot 14 = -30.0 + 378.0 = 348\,\text{g}
Mathematisches Endergebnis
y^=−30.0+27.0⋅x,β=0.81,y^(14)=348 g\hat{y} = -30.0 + 27.0 \cdot x,\quad \beta = 0.81,\quad \hat{y}(14) = 348\,\text{g}

Häufige Schweizer Prüfungsfehler

  • •Verwechslung von sx und sy im Bruch: b = r * (sx / sy) statt r * (sy / sx) berechnet.
  • •Gleichsetzung von Korrelation r und Steigung b: r misst die Stärke des Zusammenhangs (-1 bis +1), während b die Masseinheiten widerspiegelt.
Verständnis-CheckDirektes Feedback

Wie ist das Bestimmtheitsmass beta = 0.81 (r^2 = 0.81) im pflegerischen Kontext fachlich korrekt zu interpretieren?

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