Bachelor · Schweizer Prüfungsstandard

Einstichproben-Gauss-Test: Prüfung bei bekannter Populationsstreuung

Inferenzstatistik Pflege FH: Einstichproben-z-Test (Gauss-Test) Schritt für Schritt mit Prüfgrösse und kritischem Wert berechnen.

Aufgabenstellung

Ein Pharmaunternehmen behauptet, dass ein Lipidsenker den Serum-Cholesterinspiegel um durchschnittlich 20.0 mg/dl senkt (Populationsstreuung sigma = 12.0 mg/dl). Eine Pflege-Forschungsinitiative prüft das Medikament an n = 36 Patientinnen und misst eine mittlere Senkung von 24.5 mg/dl.

Aufgabe:

Berechne die Prüfgrösse z und entscheide bei alpha = 0.05 (zweiseitig), ob die beobachtete Senkung signifikant von den Herstellerangaben abweicht.

Gegeben:

\mu_0 = 20.0\,\text{mg/dl}

\sigma = 12.0\,\text{mg/dl}

n = 36

\bar{x} = 24.5\,\text{mg/dl}

\alpha = 0.05

Gesucht:

SE

z

z_{\text{krit}}

Didaktischer Denkansatz

Da die Standardabweichung der Population sigma exakt bekannt ist, wird die Teststatistik der Standardnormalverteilung (z-Test) gemäss Schnyder-Modul angewendet.

Schritt-für-Schritt-Herleitung

Standardfehler der Grundgesamtheit berechnen

Teile das bekannte Populations-Sigma durch die Quadratwurzel aus n.

SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{12.0}{\sqrt{36}} = \frac{12.0}{6} = 2.0\,\text{mg/dl}

Empirische Prüfgrösse z ermitteln

Subtrahiere den hypothetischen Populationsmittelwert vom Stichprobenmittelwert und dividiere durch den SE.

z = \frac{\bar{x} - \mu_0}{SE} = \frac{24.5 - 20.0}{2.0} = \frac{4.5}{2.0} = 2.25

Statistische Testentscheidung formulieren

Für ein zweiseitiges Signifikanzniveau von alpha = 0.05 liegt der kritische Grenzwert bei z_krit = 1.96. Vergleiche |z| mit z_krit.

|z| = 2.25 > 1.96 \implies H_0\ \text{wird verworfen (} p < 0.05\text{)}

Mathematisches Endergebnis

z = 2.25\quad (p < 0.05,\; H_0\ \text{Verworfen: Die Cholesterinsenkung ist signifikant höher als deklariert})

Häufige Schweizer Prüfungsfehler

•Verwechslung des z-Tests mit dem t-Test: Sobald sigma bekannt ist, wird keine t-Verteilung und kein df benötigt.
•Vorzeichenfehler im Zähler oder unreflektierter Vergleich mit dem einseitigen Grenzwert (1.645 statt 1.96).

Verständnis-CheckDirektes Feedback

Unter welcher Bedingung darf in Prüfungen der Gauss-Test (z-Test) dem t-Test vorgezogen werden?

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